PENGUJIAN NILAI TENGAH

Untuk mengetahui proses pengujian nilai tengah secara menyeluruh, file format Word 2003 silakan download di sini.

Untuk format file Word 2007 silakan download di sini.

Berikut ini adalah sebagian penjabaran materi tentang pengujian nilai tengah.

Pengujian nilai tengah dilakukan agar kita dapat mengambil kesimpulan / keputusan secara tepat terhadap hipotesis yang akan diuji (H₀) dan hipotesis alternatifnya (H₁). Prosedur dasar untuk melakukan pengujian nilai tengah adalah sebagai berikut:

1. Tentukan H0 dan H1

2* Tentukan statistik uji (z atau t)

3* Tentukan arah pengujian (1 atau 2)

4* Tentukan Taraf Nyata Pengujian (a atau a/2)

5. Tentukan nilai titik kritis atau daerah penerimaan-penolakan H0

6. Cari nilai Statistik Hitung

7. Tentukan Kesimpulan (terima atau tolak H0)

*) Urutan pengerjaan langkah ke2, 3 dan 4 dapat saling dipertukarkan!

A. Pengujian Nilai Tengah μ dengan Sampel Berukuran Besar (n > 30)

Pada umumnya, pengujian nilai tengah μ yang menggunakan sampel berukuran besar (n > 30) dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

1. Merumuskan hipotesis yang akan diuji (H₀) dan hipotesis alternatifnya (H₁).

2. Menentukan level of significance (α) yang dianggap dapat diterima (biasanya sudah ditentukan dalam soal).

3. Mencari nilai kritis z berdasarkan level of significance (α) dan menamai nilai z tersebut z_α. Hal ini

dilakukan dengan mencari nilai z_α yaitu nilai z yang luas wilayah di sebelah kirinya sebesar 1 – α/2. Jika

menggunakan tabel normal searah, maka dapat langsung dicari daerah seluas 1 – α/2 dengan mudah. Namun

hal ini akan sedikit lebih sulit jika menggunakan tabel normal dua arah, secara matematis probabilitas dari nilai

z_α dapat dicari dengan rumus: 0.5 – α/2.

4. Menghitung nilai z dari sampel dengan memakai rumus:

Jika nilai σ (standar deviasi bagi populasi) tidak diketahui, maka σ dapat diganti dengan s (standar deviasi bagi sampel). Hal ini dapat dilakukan karena ukuran sampelnya cukup besar sehingga tidak memberikan pengaruh berarti pada selang kepercayaannya (confidence level). Oleh sebab itu rumusnya menjadi:

1. Keputusan mengenai hipotesis dibuat berdasarkan perbedaan antara nilai z yang diperoleh dari sampel dengan z_α, yaitu:

Catatan:

Level of significance (α) merupakan nilai yang menyatakan probabilitas atau kecenderungan seorang penguji melakukan kesalahan jenis I (biasa disebut dengan Galat Jenis I). Kesalahan jenis I (galat jenis I) adalah suatu kesalahan di mana seorang penguji menolak H₀, namun sesungguhnya H₀ itu adalah hipotesis yang benar. Dengan kata lain, Galat Jenis I adalah kesalahan berupa menolak H­₀ yang benar.

Contoh Soal:

Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan nilai tengah 8 kilogram dan simpangan baku 0,5 kilogram. Ujilah hipotesis bahwa μ = 8 kilogram melawan alternatifnya μ ≠ 8 kilogram bila suatu contoh acak 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan nilai tengah 7,8 kilogram. Gunakan taraf nyata 0,01.

Penyelesaian:

= 7,8 n = 50 σ = 0,5 μ_0­ = 8

a. Formulasi hipotesisnya:

H₀ : μ = 8

H₁ : μ ≠ 8

b. Taraf nyata dan nilai Z tabelnya:

α = 1% = 0,01

Z_0,05 = - 1,64 (pengujian sisi kiri)

c. Wilayah kritik : Z < -2,575 dan Z > 2,575, sedangkan dalam hal ini

d. Kesimpulan

Tolak H0 dan disimpulkan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kilogram, tetapi kurang dari 8 kilogram.

B. Pengujian Nilai Tengah μ dengan Sampel Berukuran Kecil (n ≤ 30)

Pengujian nilai tengah μ yang menggunakan sampel berukuran kecil (n ≤ 30) dapat dilakukan dengan memakai sebaran t sebagai pengganti sebaran normal. Langkah pengujian nilai tengah dengan sampel berukuran kecil pada dasarnya sama dengan langkah pengujian nilai tengah dengan sampel berukuran besar, namun nilai kritik t ditentukan berdasarkan level of significance (α) dan derajat kebebasan (v) pada sebaran t. Setelah nilai kritik t ditentukan, langkah selanjutnya adalah menghitung nilai t dari sampel yang diuji.

Rumus yang dapat digunakan untuk menentukan nilai t dari sampel adalah sebagai berikut:

dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) v = n – 1 dan level of significance (α) yang biasanya sudah ditetapkan di dalam soal. Jika nilai α tidak ditetapkan di dalam soal, maka nilai α tersebut harus ditentukan sendiri. Besarnya nilai α ditetapkan bergantung pada seberapa besar tingkat ketelitian atau kepercayaan yang diinginkan terhadap hasil pengujian tersebut. Jika nilai α semakin kecil maka tingkat ketelitian atau kepercayaan akan semakin besar. Level of significance (α) dan derajat kebebasan (v) mutlak diperlukan untuk menentukan nilai kritis t (dengan membaca tabel sebaran t).

Contoh Soal:

Sebuah sampel terdiri atas 15 kaleng cat, memiliki isi berat kotor seperti yang diberikan berikut ini.

(isi berat kotor dalam kg/kaleng).

1,21 1,21 1,23 1,20 1,21

1,24 1,22 1,24 1,21 1,19

1,19 1,18 1,19 1,23 1,18

Jika digunakan taraf nyata 1%, dapatkah kita meyakini bahwa populasi cat dalam kaleng rata-rata memiliki berat kotor 1,2 kg/kaleng? (dengan alternatif tidak sama dengan). Berikan evaluasi anda!

Penyelesaian:

μ₀ = 1,2 n = 15 α_­ = 1% = 0,01

∑X = 18,13

∑X² = 21,9189

a. Formulasi hipotesisnya:

H₀ : μ = 1,2

H₁ : μ ≠ 1,2

b. Taraf nyata dan nilai t tabel:

α = 1% = 0,01; α/2 = 0,005 dengan db = 15 – 1 = 14

t_0,005:14 = 2,977

c. Kriteria pengujiannya: pengujian dua arah

H₀ diterima apabila : -2,977 ≤ t₀ < 2,977

H₀ ditolak apabila : t₀ > 2,977 atau t₀ < -2,977

d. Uji statistik:

e. Kesimpulan:

Karena –t_0,005:14 = -2,977 ≤ t₀ = 1,52 ≤ t_0,005:14 = 2,977, maka H₀ diterima.

Jadi, populasi cat dalam kaleng secara rata-rata berisi berat kotor 1,2 kg/kaleng.

C. Pengujian Selisih Dua Buah Nilai Tengah (μ₁ – μ₂) dengan Sampel

Berukuran Besar (n₁ > 30 dan n₂ > 30)

Pengujian selisih dua nilai tengah melibatkan dua buah populasi yang akan diuji. Prosedur pengujian selisih dua buah nilai tengah (μ₁ – μ₂) dengan sampel berukuran besar (n₁ > 30 dan n₂ > 30) pada dasarnya pun sama dengan prosedur pengujian nilai tengah dengan sampel berukuran besar. Perbedaannya hanya terletak pada cara menghitung nilai z dari sampel. Rumus yang digunakan untuk menghitung nilai z dari sampel adalah sebagai berikut:

Keterangan:

Jika dan tidak diketahui, maka dapat diganti dengan dan

Contoh Soal:

Seseorang berpendapat bahwa rata-rata jam kerja buruh di daerah A dan B sama dengan alternatif A lebih besar daripada B. Untuk itu, diambil sampel di kedua daerah, masing-masing 170 dengan rata-rata dan simpangan baku 38 dan 9 jam per minggu serta 35 dan 7 jam per minggu. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5% ! (varians/simpangan baku kedua populasi sama besar).

Penyelesaian:

n₁ = 100; ; s₁ = 9

n₂ = 70; ; s₂ = 7

1. Formulasi hipotesisnya:

H₀ : μ₁ = μ₂

H₁ : μ₁ > μ₂

2. Taraf nyata dan nilai Z tabelnya:

α = 5% = 0,05

Z_0,05 = 1,64

3. Kriteria pengujian: pengujian searah (sisi kanan)

H₀ diterima apabila Z₀ ≤ 1,64

H0 ditolak apabila Z₀ > 1,64

4. Uji Statistik:

5. Kesimpulan:

Karena Z₀ = 2,44 > Z_0,05 = 1,64, maka H₀ ditolak. Jadi, rata-rata jam kerja buruh di daerah A dan B adalah tidak sama.